Un problema aparentemente sencillo de aritmética elemental anda circulando por las redes sociales este verano. Se trata de dar la respuesta a la operación
. El debate entre los usuarios, que siempre tienen algo que decir, ha dividido la opinión entre los que afirman que el resultado es 1, mientras que otros afirman que el resultado es 16. La respuesta correcta es que no hay una solución consensuada que nos permita afirmar lo uno o lo otro. Invito al lector a seguirme en estas líneas para razonar mi respuesta.
En la página 274 de Una historia de las notaciones matemáticas, volumen I, del matemático estadounidense Florian Cajori, encontramos que: Si un término aritmético o algebraico contiene
, hasta el presente, no hay acuerdo en cuál signo debe usarse primero “es mejor evitar tales expresiones”. Por ende, si en
los signos son usados en el orden que aparecen de izquierda a derecha, la respuesta es 12; si el signo x es usado primero, la respuesta es 3.
Aquí nos encontramos con el centro del problema, que se discute actualmente, entre los usuarios de las redes ¿Cuál signo va primero? Los que dividen primero y luego multiplican les da 16. Los que multiplican primero y luego dividen les da 1. En cualquiera de los dos casos, pareciera que el acuerdo común entre todos es efectuar primero la suma, para luego debatir el orden entre la multiplicación y la división. Y este es el punto al que quiero llegar.
La polémica se resolvería si el proponente del ambiguo problema hubiese aclarado cuál operación quería hacer primero. En el caso de que lo primero sea multiplicar y luego dividir. Lo que debiéramos anotar son unos corchetes, alrededor de toda la expresión en el denominador. En tal caso escribiríamos
, y si todos seguimos la convención de que primero se operan los paréntesis, y luego los corchetes, no habrá ninguna duda de que el resultado es 1. Pero, si por el contrario, se desea primero dividir y después multiplicar, se debe colocar un paréntesis en el cociente
, para luego escribir
, en cuyo caso, todos acordaríamos que el resultado es 16.
Uno de los problemas de la enseñanza de la matemática es que los profesores de primaria y bachillerato no hacen énfasis en la importancia del uso de los signos de agrupación. Tampoco hay una interpretación correcta del signo de división. La matemática es un lenguaje y como tal debemos esforzarnos en el uso correcto de su amplia simbología. Me parece que la manera correcta de interpretar el símbolo de la división es que todo lo que esté a su izquierda es el numerador y todo lo que esté a su derecha es el denominador. Siguiendo esta convención el resultado de nuestro problema sería 1.
Pero esto no es una respuesta definitiva. Sigamos leyendo a Cajori: algunos autores siguen la regla que las multiplicaciones y las divisiones deben tomarse en el orden en que aparecen. Bajo esta regla, tendríamos que
. Continuemos, otros autores de libros de texto siguen que la multiplicación en cualquier orden debe ser efectuada primero, desde este punto de vista
. Finalmente, Cajori concluye en su apartado que Un comité de inglés –en alusión al idioma– recomienda el uso de corchetes para evitar ambigüedades en estos casos. A la recomendación del comité angloparlante le agregaría: Evitar usar en la medida de lo posible, el signo de división ÷, y en su lugar, sustituirlo por la barra de fracción vertical o diagonal. Es decir, escribir
. O bien 
. Sea cual sea, la operación que se desea indicar. La barra deja explícitamente claro el denominador y el denominador y se evitaría por completo la confusión.
En toda comunicación, la claridad en la transmisión de las ideas que se quieren comunicar es crucial para que el mensaje llegue sin ambigüedad. La matemática no escapa a esta norma, ya que ella ha construido su propio lenguaje, para evitar cualquier tipo de confusiones.
Al introducir la operación en mi calculadora, obtengo 16 como resultado. Lo que significa que, a nivel de programación, se sigue la primera de las dos convenciones. Sin embargo, creo que es conveniente aclarar que cualquiera que sea la convención que el lector trate de utilizar, se trata de una elección totalmente arbitraria. Dicho esto, la respuesta más acertada a la pregunta: ¿Cuál es el resultado de la operación
? Sería que depende de dos cosas. Primero: del criterio de elección de la prioridad entre la operación de multiplicar y dividir o del criterio de seguir ordenadamente las operaciones, a medida que vamos leyendo de izquierda a derecha. Segundo: de la operación que desee hacerse primero. En conclusión, el resultado está subordinado a una regla de oro, que los profesores de matemática no suelen enseñar a sus estudiantes el orden de las operaciones y los signos de agrupación importan a la hora de efectuar cualquier operación aritmética, incluso una tan sencilla como la que ocupó la atención que motivó la escritura de estas líneas.
A través de este espacio que me ha permitido el equipo editorial de El Nacional, propongo a estudiantes, padres, profesores, colegas y público en general que me hagan llegar sus dudas de matemática a través de los correos que indico al final y con mucho gusto, en la medida de mis posibilidades, les responderé por este medio. Quiero contribuir a la educación en Venezuela y el resto de la región.
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